如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足:||=2且EF⊥l于G,點Q是直線l上一動點,點M滿足=0.
(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求動點P的軌跡方程;
(2)若經過點E的直線l1與點P的軌跡交于相異兩點A、B,令∠AFB=θ,當π≤θ<π時,求直線l1的斜率k的取值范圍.

【答案】分析:(1)以FG的中點O為原點,以EF所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,設出動點P的坐標,求出的坐標,由求出Q,M的坐標,由列式求出P點的軌跡;
(2)設出直線l1 的方程,和拋物線方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關系得到兩交點橫坐標的和與積,進一步得到縱坐標的和與積,然后把的數(shù)量積與模用含有k的代數(shù)式表示,代入向量夾角公式后可求值.
解答:解:(1)以FG的中點O為原點,以EF所在直線為y軸,建立平面直角坐標系
xoy,設點P(x,y),則F(0,1),E(0,3),l:y=-1
,∴
,∴
即所求點P軌跡方程x2=4y;
(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2
設直線l1的方程為y=kx+3(k≠0).
,得x2-4kx-12=0
∴x1+x2=4k,x1x2=-12


,

=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
=-12+9-4k2-6+1
=-4k2-8.

=

由于,
,即
,∴,解得
∴直線l1 的斜率k的取值范圍是{k|}.
點評:本題考查了直線的斜率,考查了與直線有關的動點軌跡方程問題,訓練了平面向量在解題中的應用,利用根與系數(shù)關系解題是處理該題的關鍵,考查了學生的計算能力,是難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•海淀區(qū)二模)如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足:|
EF
|=2且EF⊥l于G,點Q是直線l上一動點,點M滿足
FM
=
MQ
,點P滿足
PQ
EF
,
PM
FQ
=0.
(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求動點P的軌跡方程;
(2)若經過點E的直線l1與點P的軌跡交于相異兩點A、B,令∠AFB=θ,當
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π≤θ<π時,求直線l1的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足:| |=2且EFlG,點Q是直線l上一動點,點M滿足: =,點P滿足: ,·=0.

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担髣狱cP的軌跡方程;

(2)若經過點E的直線l1與點P的軌跡交于相異兩點AB,令∠AFB=θ,當θπ時,求直線l1的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足:||=2且EF⊥l于G,點Q是直線l上一動點,點M滿足,點P滿足=0.

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求動點P的軌跡方程;

(2)若經過點E的直線l1與點P的軌跡交于相異兩點A、B,令∠AFB=θ,當4π≤θ≤π時,求直線l1的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足:||=2且EF⊥l于G,點Q是直線l上一動點,點M滿足,點P滿足,=0.

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求動點P的軌跡方程;

(2)若經過點E的直線l1與點P的軌跡交于相異兩點A、B,令∠AFB=θ,當4π≤θ≤π時,求直線l1的斜率k的取值范圍.

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