Question

設(shè)函數(shù)
（1）若x=1是的極大值點，求a的取值范圍。
（2）當a=0，b=-1時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù)的值。

Answer 1

（Ⅰ）的定義域為，
，由=0，得.
∴.
①若a≥0，由=0，得x=1.
當時，，此時單調(diào)遞增；
當時，，此時單調(diào)遞減.所以x=1是的極大值點.
②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.
因為x=1是的極大值點，所以＞1，解得－1＜a＜0.
綜合①②：a的取值范圍是a＞－1.
（Ⅱ）因為函數(shù)有唯一零點，即有唯一實數(shù)解，
設(shè)，則．令，．
因為，所以△=>0，方程有兩異號根設(shè)為x₁<0，x₂>0.因為x>0，所以x₁應(yīng)舍去.
當時，，在（0，）上單調(diào)遞減;
當時，，在（，+∞）單調(diào)遞增.
當時，=0，取最小值．
因為有唯一解，所以，
則  即
因為，所以（*）
設(shè)函數(shù)，因為當時，
是增函數(shù)，所以至多有一解．
因為，所以方程（*）的解為，
代入方程組解得

略