Question

已知數(shù)列A_n：a₁，a₂，a₃，…a_n（n∈N^*，n≥2）滿足a₁=a_n=0，且當(dāng)2≤k≤n（k∈N^*）時，（a_k-a_k-1）²=1，令S(A n)=

n

i=1

ai．
（Ⅰ）寫出的所有S（A₅）可能值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由題意分6種情況考慮即可；
（Ⅱ）由（a_k-a_k-1）²=1可構(gòu)造新數(shù)列c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1，則它們各自的絕對值為1，和為0，則前

n-1

2

項取1，后

n-1

2

項取-1時，S（A_n）最大；前

n-1

2

項取-1，后

n-1

2

項取1時，S（A_n）最�。�

解答： 解：（Ⅰ）由題意滿足條件的數(shù)列A₅的所有可能情況有：
①0，1，2，1，0．此時S（A₅）=4；
②0，1，0，1，0．此時S（A₅）=2；
③0，1，0，-1，0．此時S（A₅）=0；
④0，-1，-2，-1，0．此時S（A₅）=-4；
⑤0，-1，0，1，0．此時S（A₅）=0；
⑥0，-1，0，-1，0．此時S（A₅）=-2，
所以S（A₅）的所有可能的值為：4，2，0，-2，-4．
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，可設(shè)a_k-a_k-1=c_k-1，
則c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n（k∈N^*），
因為a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1
因為a_n=a₁=0，所以c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1=0，
所以n為奇數(shù)，c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1是由

n-1

2

個1，和

n-1

2

個-1構(gòu)成的數(shù)列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1
則當(dāng)c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1的前

n-1

2

項取1，后

n-1

2

項取-1時，S（A_n）最大，
此時S(A n)max=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．
同理知，當(dāng)c₁，c₂，…，c_n-2，c_n-1的前

n-1

2

項取-1，后

n-1

2

項取1時，
S（A_n）最小，此時S(A n)min=-

(n-1)2

4

．

點評：本題考查數(shù)列的知識，看清題意，找出其內(nèi)在規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．