Question

13．設△ABC的三個內角A，B，C所對應的邊為a，b，c，若A，B，C依次成等差數列且a²+c²=kb²，則實數k的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 利用角A、B、C成等差數列B=$\frac{π}{3}$，利用a²+c²=kb²，可得k=$\frac{2}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{4}{3}$，即可利用正弦函數的性質求得實數k的取值范圍．

解答 解：∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差數列，
∴B=π-（A+C）=π-2B，解之得B=$\frac{π}{3}$，
∵a²+c²=kb²，
∴sin²A+sin²C=ksin²B=$\frac{3k}{4}$，
∴k=$\frac{4}{3}$[sin²A+sin²（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{4}{3}$[$\frac{5}{4}$sin²A+$\frac{3}{4}$cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA）]=$\frac{2}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{4}{3}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1＜$\frac{2}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{4}{3}$≤2，
∴實數k的取值范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]．

點評 本題考查等差數列的性質，考查正弦定理，考查輔助角公式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．