Question

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）；（2）相切

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率，即可求出的值.即可得到結(jié)論.

（2）依題意假設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，以及點(diǎn)R的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，C，R三點(diǎn)共線即可求得點(diǎn)R的坐標(biāo)表示.從而表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，寫出直線CD的方程，再計(jì)算圓心到該直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)C在圓上，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.

（1）由題意可得，， ∴ ． 2分

∴， 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）解法一：曲線是以為圓心，半徑為2的圓.

設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 5分

∵三點(diǎn)共線， ∴， 6分

而，，則，

∴， 7分

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 8分

∴直線的斜率為，

而，∴，

∴， 10分

∴直線的方程為，化簡(jiǎn)得，

∴圓心到直線的距離， 11分

所以直線與曲線相切． 12分

解法二：同解法一得， 10分

又，故，即，

所以直線與圓相切． 12分

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求橢圓方程.2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.方程的思想.