Question

已知A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m²＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}，是坐標平面內的點集，問是否存在實數(shù)a，b使得(1)A∩B≠φ，(2)(a，b)∈C同時成立．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：假設在a，b使得(1)成立，則集合A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}與集合B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，相對應的方程y＝ax＋b與y＝3x2＋15至少要有公共點，即方程組有公共解，所以方程3x2＋15＝ax＋b必有解．因此，△＝a2－12(15－b)≥0即－a2≤12b－180　　　�、� 　　又∵(a，b)∈C，∴a2＋b2≤144　　　�、� 　�、佗谙嗉拥胋2≤12b－36即(b－6)2≤0，∴b＝6． 　　將b＝6代入①得a2≥108；再將b＝6代入②得a2≤108，因此a2＝108， 　　∴a＝±6．再將a＝±6，b＝6代入原方程得：3x2±6x＋9＝0， 　　解得x＝±Z．所以不存在實數(shù)a，b，使①，②同時成立． 　　解法2：由A∩B≠φ，表示存在正整數(shù)n，使得na＋b＝3n2＋15，(a，b)∈C， 　　即a2＋b2≤144，因此原題等價于關于a，b的混合組是否有實數(shù)解． 　　∵(3n2＋15)2＝(na＋b)2≤(n2＋1)(a2＋b2)≤144(n2＋1)，即(n2－3)2≤0． 　　∴n2－3＝0，n＝±，這與n∈Z矛盾．故不存在實數(shù)a，b，使(1)，(2)同時成立． 　　思想方法小結：解法1中的△≥0只能保證直線與拋物線有公共點，但這個公共點不一定是整數(shù)點．由于求得的a，b不能使兩條曲線的交點為整數(shù)點，所以符合題意的a，b當然不存在了．解法2中，(na＋b)2＝n2a2＋2nab＋b2≤n2a2＋a2＋n2b2＋b2＝(n2＋1)(a2＋b2)．其中運用了：若x，y為實數(shù)，則有2xy≤x2＋y2．

提示：

假設存在實數(shù)a，b，則(a，b)∈A且(a，b)∈B且(a，b)∈C，即y＝ax＋b與y＝3x2＋15有公共解．