Question

【題目】若數(shù)列的每一項(xiàng)都不等于零，且對(duì)于任意的，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“類等比數(shù)列”；已知數(shù)列滿足：，對(duì)于任意的，都有；

（1）求證：數(shù)列是“類等比數(shù)列”；

（2）若是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)之積取最大值時(shí)的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）；

【解析】

（1）利用，再寫一式，可得即可得出結(jié)論（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)是單調(diào)遞減數(shù)列知，即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍（3）若，分類討論，利用前項(xiàng)之積取最大值時(shí)，n=4k（k∈N*），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令得，可得，即可求解.

（1）因?yàn)?/span>,

所以，

所以，

所以，數(shù)列是“類等比數(shù)列”．

（2）由，得，

所以，

由是單調(diào)遞減數(shù)列知，

解得.

（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，

當(dāng)時(shí)，

由的通項(xiàng)公式可知，當(dāng)時(shí)，，

又因?yàn)?/span>，

所以，

因而取最大值時(shí)，，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令得，所以，

因而，

所以

因而，當(dāng)時(shí)，取最大值.