設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-cosx+ax+1.
(1)當a=1,x∈[0,2π]時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)若函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)對函數(shù)f(x)=sinx-cosx+x+1求導,對導函數(shù)用輔助角公式變形,利用導數(shù)等于0得極值點,通過列表的方法考查極值點的兩側(cè)導數(shù)的正負,判斷區(qū)間的單調(diào)性,求極值;
(2)由于函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù),則f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立,解出a即可.
解答:解:(1)由f(x)=sinx-cosx+x+1=
2
sin(x-
π
4
)+x+1,0<x<2π,
知f′(x)=1+
2
sin(x+
π
4
).
令f′(x)=0,從而可得sin(x+
π
4
)=-
2
2
,
解得x=π,或x=
2
,
當x變化時,f′(x),f(x)變化情況如下表:
 x     (0,π)  π  (π,
2
 
2
 
 f′(x) +     0 -     0 +
 f(x) 單調(diào)遞增↑  π+2 單調(diào)遞減↓
2
 
 
單調(diào)遞增↑
因此,由上表知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,π)與(
2
,2π),單調(diào)遞減區(qū)間是(π,
2
),
故函數(shù)f(x)的極小值為f(
2
)=
2
,極大值為f(π)=π+2;
(2)f′(x)=
2
sin(x+
π
4
)+a

由于函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù),
則f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立
2
sin(x+
π
4
)+a≥0或
2
sin(x+
π
4
)+a≤0,
解得a≤-
2
或a
2

故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-
2
]∪[
2
,+∞)
點評:本題考查導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法,考查綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力.對于函數(shù)解答題,一般情況下都是利用導數(shù)來研究單調(diào)性或極值,利用導數(shù)為0得可能的極值點,通過列表得每個區(qū)間導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而得出極值點.
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精英家教網(wǎng)如圖是函數(shù)Q(x)的圖象的一部分,設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,g ( x )=
1
x
,則Q(x)是(  )
A、
f(x)
g(x)
B、f(x)g(x)
C、f(x)-g(x)
D、f(x)+g(x)

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1
x
,如圖是函數(shù)F(x)圖象的一部分,則F(x)是( 。

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bc
b2+c2-a2
=tanA

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1
2
,把所得圖象向右平移
π
6
個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)的對稱中心及單調(diào)遞增區(qū)間.

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(2011•杭州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
sinx+cosx-|sinx-cosx|
2
(x∈R),若在區(qū)間[0,m]上方程f(x)=-
3
2
恰有4個解,則實數(shù)m的取值范圍是
[
3
,
17π
6
)
[
3
,
17π
6
)

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