Question

15．若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足：
①對(duì)于定義域上的任意x恒有f（x）+f（-x）=0，
②對(duì)于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．
給出下列四個(gè)函數(shù)中：（1）f（x）=x，（2）f（x）=$\frac{1}{x}$，（3）f（x）=x²，（4）f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}，x≤0}\\{{x^2}，x＞0}\end{array}}$．
能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有（1）（4）．（填寫(xiě)相應(yīng)序號(hào)）

Answer 1

分析 由“理想函數(shù)”的定義可知：若f（x）是“理想函數(shù)”，則f（x）為定義域上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，將四個(gè)函數(shù)一一判斷即可．

解答 解：若f（x）是“理想函數(shù)”，則滿(mǎn)足以下兩條：
①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②對(duì)于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．
故f（x）為定義域上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)．
（1）f（x）=x在定義域R上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”；
（2）f（x）=$\frac{1}{x}$在定義域上不是增函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；
（3）f（x）=x²在定義域R上不是奇函數(shù)，所以不是“理想函數(shù)”；
（4）由圖象可知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$在定義域R上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”．

故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，注意運(yùn)用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．