如圖,已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
3
2
,且經(jīng)過點M(4,1).直線l:y=x+m交橢圓于A,B兩不同的點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當|AB|=
12
5
2
時,求m的值;
(3)若直線l不過點M,求證:直線MA,MB與x軸圍成一個等腰三角形.
分析:(1)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
e=
3
2
 可得a,b之間的關(guān)系,再由橢圓過點M(4,1),代入橢圓方程可得a,b得另一個關(guān)系式,聯(lián)立可求
(2)將y=x+m代入
x2
20
+
y2
5
=1
,整理可得5x2+8mx+4m2-20=0,由|AB|=
2
|x1-x2|
=
4
2
5
25-m2
可求m
(3)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1和k2,要證明直線MA,MB與x軸圍成一個等腰三角形.只要證明k1+k2=0即可
解答:解:(1)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1

因為e=
3
2
 所以a=2b
又橢圓過點M(4,1),所以
16
a2
+
1
b2
=1
解得a=2
5
,b=
5

故橢圓方程為
x2
20
+
y2
5
=1

(2)將y=x+m代入
x2
20
+
y2
5
=1

5x2+8mx+4m2-20=0
|AB|=
2
|x1-x2|
=
4
2
5
25-m2
=
12
2
5
,得到m=±4
(3)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1和k2,只要證明k1+k2=0
設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),則x1+x2=-
8m
5
, x1x2=
4m2-20
5

k1+k2=
y1-1
x1-4
+
y2-1
x2-4
=
(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)
(x1-4)(x2-4)

分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)
=
2(4m2-20)
5
-
8m(m-5)
5
-8(m-1)=0

因此MA,MB與x軸所圍成的三角形為等腰三角形
點評:本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程,在處理直線與橢相交的位置關(guān)系的處理中,聯(lián)立方程是最常用的處理方法,根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用是處理此類問題的關(guān)鍵所在,
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精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在坐標原點,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準線l與x軸的交點為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線l1:x=m(|m|>1),P為l1上的動點,使∠F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(用m表示).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個不同點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,它的一個頂點為A(0,
2
),且離心率為
3
2

( I)求橢圓的標準方程;
( II)過點M(0,2)的直線l與橢圓相交于不同兩點P、Q,點N在線段PQ上.設(shè)
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ,試求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),直線l交橢圓于A、B兩個不同點(A、B與M不重合).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當MA⊥MB時,求m的值.

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