Question

已知a∈R，設(shè)p：函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，q：方程x²-ay²=1表示雙曲線．
（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，得-

a-1

2

≤1，從而求出命題p為真時(shí)，a的范圍；
（2）由復(fù)合命題真值表知若“p且q”為真命題，則命題p、q都為真命題，求得命題q為真命題時(shí)a的范圍，求交集可得答案．

解答：解：（1）∵p為真命題，即函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴-

a-1

2

≤1，解得a≥-1．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．                     
（2）由方程x²-ay²=1表示雙曲線，則a＞0，
∴命題q為真命題，則a＞0．
由復(fù)合命題真值表知若“p且q”為真命題，則命題p為真命題，且q也為真命題． 
∴a≥-1且a＞0，即a＞0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合命題的真假判斷，考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判定及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是求得命題p、q都為真時(shí)a的范圍．