Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，分別是曲線，上兩動(dòng)點(diǎn)且，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）6

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，消參化簡(jiǎn)得曲線的普通方程，對(duì)的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，利用及坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)可得曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)極坐標(biāo)，則，分別代入極坐標(biāo)方程中，求得的值，，根據(jù)三角函數(shù)有界性，即可求解最值.

（Ⅰ）由條件知消去參數(shù)得到曲線的普通方程為.

因可化為，又，，代入得，于是曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）由條件知曲線，均關(guān)于軸對(duì)稱，而且外切于原點(diǎn)，

不妨設(shè)，則，

因曲線的極坐標(biāo)方程為，

所以，，

于是，

所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為6.