【題目】設函數(shù)f(x)= (a∈R)
(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)= = ,
∵f(x)在x=0處取得極值,∴f′(0)=0,解得a=0.
當a=0時,f(x)= ,f′(x)= ,
∴f(1)= ,f′(1)= ,
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為 ,化為:3x﹣ey=0;
(2)解法一:由(1)可得:f′(x)= ,令g(x)=﹣3x2+(6﹣a)x+a,
由g(x)=0,解得x1= ,x2= .
當x<x1時,g(x)<0,即f′(x)<0,此時函數(shù)f(x)為減函數(shù);
當x1<x<x2時,g(x)>0,即f′(x)>0,此時函數(shù)f(x)為增函數(shù);
當x>x2時,g(x)<0,即f′(x)<0,此時函數(shù)f(x)為減函數(shù).
由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),可知:x2= ≤3,解得a≥﹣ .
因此a的取值范圍為: .
解法二:由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),∴f′(x)≤0,
可得a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.
令u(x)= ,u′(x)= <0,
∴u(x)在[3,+∞)上單調(diào)遞減,
∴a≥u(3)=﹣ .
因此a的取值范圍為:
【解析】(1)f′(x)= ,由f(x)在x=0處取得極值,可得f′(0)=0,解得a.可得f(1),f′(1),即可得出曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)解法一:由(1)可得:f′(x)= ,令g(x)=﹣3x2+(6﹣a)x+a,由g(x)=0,解得x1= ,x2= .對x分類討論:當x<x1時;當x1<x<x2時;當x>x2時.由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),可知:x2= ≤3,解得即可.解法二:“分離參數(shù)法”:由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),可得f′(x)≤0,可得a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.令u(x)= ,利用導數(shù)研究其最大值即可.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間,為了建立指標顯示疫情已受控制,以便向該地區(qū)居眾顯示可以過正常生活,有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”,根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算,下列① ~ ⑤各個選項中,一定符合上述指標的是 ( )
①平均數(shù); ②標準差; ③平均數(shù)且標準差;
④平均數(shù)且極差小于或等于2;⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4。
A. ①② B. ③④ C. ③④⑤ D. ④⑤
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=qan+2q﹣2(q為常數(shù)),若a3 , a4 , a5∈{﹣5,﹣2,﹣1,7},則a1=
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,CA=CD= AB=1, =1,sin∠BCD= .
(1)求BC的長;
(2)求四邊形ABCD的面積;
(3)求sinD的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= ,則滿足f(f(a))=2f(a)的a的取值范圍是( )
A.[ ,1]
B.[0,1]
C.[ ,+∞)
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣ x3+ x2﹣2x(a∈R)
(1)當a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a﹣1)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點 ,且與定直線相切,動圓圓心的軌跡方程為,直線過點交曲線于兩點.
(1)若交軸于點,求的取值范圍;
(2)若的傾斜角為,在上是否存在點使為正三角形?若能,求點的坐標;若不能,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設橢圓的中心為原點,長軸在軸上,上頂點為,左,右焦點分別為,線段的中點分別為,且 是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過做直線交橢圓于兩點,使,求直線的方程.
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