Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）=0在[0，上有兩個(gè)不同的根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2cos²x+sin2x+a
=1+cos2x+sin2x+a
=sin（2x+）+1+a
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π；
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得：
kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z，
（2）∵x∈[0，，
∴≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1，
∴-1≤sin（2x+）≤；
∵f（x）=0在[0，上有兩個(gè)不同的根，
∴y=-1-a與y=sin（2x+），x∈[0，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴1≤-1-a＜，
∴-＜a+1≤1，
∴--1＜a≤0．
分析：（1）利用三角函數(shù)間的關(guān)系式可整理得到f（x）=sin（2x+）+1+a，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用y=-1-a與y=sin（2x+），x∈[0，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可求得a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．