Question

已知函數(shù)，令．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）任取定義域內(nèi)的5個(gè)自變量，根據(jù)要求計(jì)算并填表；觀(guān)察表中數(shù)據(jù)間的關(guān)系，猜想一個(gè)等式并給予證明；

x						…
						…
						…

（3）如圖，已知f（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象，請(qǐng)據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的圖象，并在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象．請(qǐng)說(shuō)明你的作圖依據(jù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由條件，f（x）的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，故x²≥0，從而得出函數(shù)的值域；
（2）由表格內(nèi)數(shù)據(jù)猜想：或f（x）+g（x）=1，從而得出函數(shù)f（x）和g（x）都是偶函數(shù)，其本身圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（3）由于，所以函數(shù)的圖象和的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即f（x）圖象和g（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．由此，可作出f（x）和g（x）在定義域內(nèi)的全部圖象．
解答：解：（1）由條件，f（x）的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，故x²≥0
所以，f（x）∈（0，1]．
（2）表格內(nèi)數(shù)據(jù)只要滿(mǎn)足和互為相反數(shù)即可得分．
猜想：或f（x）+g（x）=1
證明：
（3）f（x）和g（x）的圖象見(jiàn)下圖．
因?yàn)閤∈R，且f（-x）=f（x），g（-x）=g（x），所以函數(shù)f（x）和g（x）都是偶函數(shù)，其本身圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（注：只作對(duì)f（x）圖象，并說(shuō)明了理由的可得2分）
∵所以函數(shù)的圖象和的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即f（x）圖象和g（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．
由此，可作出f（x）和g（x）在定義域內(nèi)的全部圖象．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，還考查了函數(shù)的值域，此題解答的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．