【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
【答案】
(1)
解:設(shè)短軸一端點(diǎn)為C(0,b),左右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c>0,
則c2+b2=a2;
由題意,△F1F2C為直角三角形,
∴ ,解得b=c= a,
∴橢圓E的方程為 =1;
代人直線l:y=﹣x+3,可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0,
又直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn),則△=122﹣4×3(18﹣2b2)=0,解得b2=3,
∴橢圓E的方程為 =1;
由b2=3,解得x=2,則y=﹣x+3=1,所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1)
(2)
證明:設(shè)P(x0,3﹣x0)在l上,由kOT= ,l′平行OT,
得l′的參數(shù)方程為 ,
代人橢圓E中,得 +2 =6,
整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0;
設(shè)兩根為tA,tB,則有tAtB= ;
而|PT|2= =2 ,
|PA|= =| tA|,
|PB|= =| tB|,
且|PT|2=λ|PA||PB|,
∴λ= = = ,
即存在滿足題意的λ值.
【解析】(1)根據(jù)橢圓的短軸端點(diǎn)C與左右焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成等腰直角三角形,結(jié)合直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn),利用判別式△=0,即可求出橢圓E的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)l′∥OT寫出l′的參數(shù)方程,代人橢圓E的方程中,整理得出方程,再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|,由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值.
本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用問題,考查了參數(shù)方程的應(yīng)用問題,是難題.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率是 ,拋物線E:x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是E上的動點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線l與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
①求證:點(diǎn)M在定直線上;
②直線l與y軸交于點(diǎn)G,記△PFG的面積為S1 , △PDM的面積為S2 , 求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”,則該課程考核“合格”,若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7,在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有影響.
(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(2)求這三個(gè)人該課程考核都合格的概率(結(jié)果保留三位小數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=4x , 則f(﹣ )+f(1)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1()的最小正周期為π,且.
(1)求ω和φ的值;
(2)函數(shù)f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變的情況下向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,
①求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;
②求函數(shù)g(x)在的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)設(shè), ,若函數(shù)存在零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若是偶函數(shù),設(shè),若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(2,0)和單位圓上的兩點(diǎn)B(1,0),C(-,),點(diǎn)P是劣弧上一點(diǎn),∠BOC=α,∠BOP=β.
(Ⅰ)若OC⊥OP,求sin(π-α)+sin(-β)的值;
(Ⅱ)設(shè)f(t)=|+t|(t∈R),當(dāng)f(t)的最小值為1時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.
(1)若的面積,求a+c值;
(2)若2cosC(+)=c2,求角C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動,對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:
甲商場:顧客轉(zhuǎn)動如圖所示的圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形的圓心角均為,邊界忽略不計(jì))即為中獎.
乙商場:從裝有2個(gè)白球、2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)紅球(這些球除顏色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2個(gè)相同顏色的球,則為中獎.
試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?請說明理由.
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