【題目】如圖,在直三棱柱中ABCA1B1C1,ABACAB3,AC4,B1CAC1

1)求AA1的長;

2)試判斷在側棱BB1上是否存在點P,使得直線PC與平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等,并說明理由.

【答案】14;(2)不存在符合題意的點P,理由見解析

【解析】

1)根據(jù)直三棱柱,得到AA1⊥平面ABC,又ABAC,以A為原點,{,,}為正交基底建立空間直角坐標系,設AA1a0,利用B1CAC1,由求解.

2)假設存在,設(00,4),得到(3,﹣4,4),由AB⊥平面AA1C1C,得到平面AA1C1C的法向量為(3,00),設PC與平面AA1C1C所成角為,代入求解,再求得平面BA1C的一個法向量,設二面角B—A1C—A的大小為,則,然后根據(jù),由求解.

1)直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

AB,AC平面ABC,

AA1AB,AA1AC,又ABAC,

故以A為原點,{,,}為正交基底建立空間直角坐標系:

AA1a0,則A1(0,0,a),C(04,0),B1(3,0a),C1(04,a)

(3,4,﹣a)(0,4a)

因為B1CAC1,

,即,

a0,故a4,即AA1的長為4;

2)由(1)知:B(3,0,0)B1(3,04),

假設存在,設(0,0,4),

P(3,04),則(3,﹣44),

因為ABACABAA1,又ACAA1A,AC,AA1平面AA1C1C,

所以AB⊥平面AA1C1C

故平面AA1C1C的法向量為(30,0),

PC與平面AA1C1C所成角為,則,

設平面BA1C的一個法向量為(x,y,z),平面AA1C的一個法向量為(3,00),

由(1)知:(04,﹣4),(3,4,0),(0,4,0),

,

,則(4,33)

設二面角B—A1C—A的大小為,則

因為,則,無解,

故側棱BB1上不存在符合題意的點P

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x

48,52]

44,48]∪(52,56]

0,44]∪(56,100]

質(zhì)量等級

正牌

副牌

廢品

公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機抽取了一刀(100張)進行檢驗,得到頻率分布直方圖如圖所示,已知每張正牌紙的利潤是10元,副牌紙的利潤是5元,廢品虧損10元.

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