Question

已知函數(shù)，函數(shù)．
(I)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
(II)若f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
(III)設(shè)數(shù)列是公差為1．首項(xiàng)為l的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是；
（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ） 利用導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，得的單調(diào)遞增區(qū)間是；利用導(dǎo)數(shù)值非正，得到的單調(diào)遞減區(qū)間是；
（Ⅱ）利用在是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，只需恒成立，轉(zhuǎn)化成
，利用，得到.
（Ⅲ）依題意不難得到，=1+++，
根據(jù)時(shí)， =+在上為增函數(shù)，
可得，從而;
構(gòu)造函數(shù)，利用“導(dǎo)數(shù)法”得到, 從而不等式成立.
應(yīng)用“累加法”證得不等式.
本題解答思路比較明確，考查方法較多，是一道相當(dāng)?shù)湫偷念}目.
試題解析：（Ⅰ）=，所以，,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031254076383.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，令，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是；4分
（Ⅱ）若在是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，即恒成立
即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031253577588.png" style="vertical-align:middle;" />，所以故.                .7分
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列是公差為1首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，所以，=1+++，
當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知：=+在上為增函數(shù)，
=-1，當(dāng)時(shí)，，所以+，即
所以;
令，則有，當(dāng)，有
則,即,所以時(shí),
所以不等式成立.
令且時(shí)，
將所得各不等式相加，得

即
（且）．                   13分