【題目】市場(chǎng)上有一種新型的強(qiáng)力洗衣液,特點(diǎn)是去污速度快.已知每投放(,且)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時(shí)間(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于(克/升)時(shí),它才能起到有效去污的作用.
(1)當(dāng)一次投放個(gè)單位的洗衣液時(shí),求在分鐘時(shí),洗衣液在水中釋放的濃度.
(2)在(1)的情況下,即一次投放個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘?
(3)若第一次投放個(gè)單位的洗衣液,分鐘后再投放個(gè)單位的洗衣液,請(qǐng)你寫出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度(克/升)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式,求出最低濃度,并判斷接下來的四分鐘是否能夠持續(xù)有效去污.
【答案】(1) (2)分鐘 (3)答案見解析
【解析】
(1)根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論.
(2)根據(jù)由(1)得,結(jié)合已知,即可求得答案.
(3)根據(jù)條件建立第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度(克/升)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解即可.
(1),
當(dāng)時(shí),
(2)則由(1)得,
當(dāng)時(shí),由,解得,
所以此時(shí).
當(dāng)時(shí),由,解得,所以此時(shí).
綜上所述,得,若一次投放個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)分鐘.
(3)當(dāng)時(shí),,
,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
有最小值,
接下來的四分鐘能夠持續(xù)有效去污.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測(cè)可知,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng),記2015年為第1年,第x年與年產(chǎn)量(萬件)之間的關(guān)系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
4.00 | 5.52 | 7.00 | 8.49 |
現(xiàn)有三種函數(shù)模型:,,
(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取這兩年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)因受市場(chǎng)環(huán)境的影響,2020年的年產(chǎn)量估計(jì)要比預(yù)計(jì)減少30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,估計(jì)2020年的年產(chǎn)量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列命題:(1)雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn);(2)“”是“”的必要不充分條件;(3)若向量與向量共線,則向量,所在直線平行;(4)若三點(diǎn)不共線,是平面外一點(diǎn),,則點(diǎn)一定在平面上;其中是真命題的是______(填上正確命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中,,,,點(diǎn)在上,且.
(1)證明:平面;
(2)求以為棱,與為面的二面角的大小
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形.點(diǎn)是棱的中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,且平面平面,試證明平面;
(3)在(2)的條件下,線段上是否存在點(diǎn),使得平面?(直接給出結(jié)論,不需要說明理由)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:千元)對(duì)年銷售量(單位:)和年利潤(rùn)(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中,
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與,哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與的關(guān)系為,根據(jù)(2)的結(jié)果回答:當(dāng)年宣傳費(fèi)時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高中生在被問及“家,朋友聚集的地方,個(gè)人空間”三個(gè)場(chǎng)所中“感到最幸福的場(chǎng)所在哪里?”這個(gè)問題時(shí),從中國(guó)某城市的高中生中,隨機(jī)抽取了55人,從美國(guó)某城市的高中生中隨機(jī)抽取了45人進(jìn)行答題.中國(guó)高中生答題情況是:選擇家的占、朋友聚集的地方占、個(gè)人空間占.美國(guó)高中生答題情況是:朋友聚集的地方占、家占、個(gè)人空間占.如下表:
在家里最幸福 | 在其它場(chǎng)所幸福 | 合計(jì) | |
中國(guó)高中生 | |||
美國(guó)高中生 | |||
合計(jì) |
(Ⅰ)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;試判斷能否有的把握認(rèn)為“戀家”與否與國(guó)別有關(guān);
(Ⅱ)從被調(diào)查的不“戀家”的美國(guó)學(xué)生中,用分層抽樣的方法選出4人接受進(jìn)一步調(diào)查,再?gòu)?/span>4人中隨機(jī)抽取2人到中國(guó)交流學(xué)習(xí),求2人中含有在“個(gè)人空間”感到幸福的學(xué)生的概率.
附:,其中.
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,離心離為,點(diǎn)滿足條件.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),記和的面積分別為、,求證: .
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