Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA₁，D為AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求二面角D-CA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：方法一（1）先做出輔助線，連接AC₁與A₁C交于點K，連接DK，根據(jù)要證明線與面平行，需要在面上找一條和已知直線平行的直線，找到的直線是DK．
（2）根據(jù)二面角D-CA₁-C₁與二面角D-CA₁-A互補，做出輔助線，邊做邊證作GH⊥CA₁，垂足為H，連接DH，則DH⊥CA₁，得到∠DHG為二面角D-CA₁-A的平面角，解出結果．
方法二（1）以BC的中點O為原點建系，根據(jù)要用的點的坐標，寫出對應的向量的坐標，設出一個平面的法向量，求出法向量．根據(jù)法向量與已知直線的方向向量的數(shù)量積等于0，得到結論．
（2）以BC的中點O為原點建系，根據(jù)要用的點的坐標，寫出對應的向量的坐標，設出一個平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的兩個向量垂直且數(shù)量積等于0，得到一個法向量，另一個平面的法向量可以直接寫出，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值．

解答：（方法一）（1）證明：如圖一，連接AC₁與A₁C交于點K，連接DK．
在△ABC₁中，D、K為中點，∴DK∥BC₁．
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁
（2）解：二面角D-CA₁-C₁與二面角D-CA₁-A互補．
如圖二，作DG⊥AC，垂足為G，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，∴DG⊥平面ACC₁A₁．
作GH⊥CA₁，垂足為H，連接DH，則DH⊥CA₁，
∴∠DHG為二面角D-CA₁-A的平面角
設AB=BC=CA=AA₁=2，
在等邊△ABC中，D為中點，∴AG=

1

4

AC，在正方形ACC₁A₁中，GH=

3

8

AC1，
∴DG=

3

2

，GH=

3

8

×2

2

=

3

4

2

，∴DH=

30

4

．
∴cos∠DHG=

GH

DH

=

3 2 4

30 4

=

15

5

．
∴所求二面角的余弦值為-

15

5

．

圖一　　　　　　　　　圖二　　　　　　　　　　圖三
（方法二）（1）證明：如圖三以BC的中點O為原點建系，設AB=BC=CA=AA₁=2．
設

n

=(x，y，z)是平面DCA₁的一個法向量，
則

n • CD =0 n • CA1 =0

．又

CD

=(

3

2

，0，

3

2

)，

CA1

=(1，2，

3

)，
∴

3 x+z=0 x+2y+ 3 z=0

．令x=1，z=-

3

，y=1，∴

n

=(1，1，-

3

)
∵

BC1

=(-2，2，0)，∴

n

•

BC1

=-2+2+0=0．
又BC₁?平面DCA₁，∴BC₁∥平面DCA₁．
（2）解：設

m

=(x1，y1，z1)是平面CA₁C₁的一個法向量，
則

m • CC1 =0 m • CA1 =0

．又

CC1

=(0，2，0)，

CA1

=(1，2，

3

)，
∴

y1=0 x1+ 3 z1=0

．令z1=1，x1=-

3

，∴

m

=(-

3

，0，1)．
∴cos＜

m

 ，

n

＞=

-2 3

2 5

=-

15

5

．
∴所求二面角的余弦值為-

15

5

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面的平行關系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用，本題可以利用空間向量來解題從而降低了題目的難度．