Question

如圖，三棱柱ABC-DEF的側(cè)面為全等的矩形，且底面邊長為

2

．
（1）若側(cè)棱長為2，求直線AE與BF所成的角；
（2）若直線AE⊥BF，求側(cè)棱的長．

Answer 1

分析：（1）先求得相關(guān)點(diǎn)：A（0，0，0），E（

6

2

，

2

2

，2），B（

6

2

，

2

2

，0），F(xiàn)（0，

2

，2）的坐標(biāo)，進(jìn)而求得相關(guān)向量

AE

 =(

6

2

，

2

2

，2)， 

BF

=(

6

2

，

2

2

，-2)的坐標(biāo)，再用向量的夾角公式求解．
（2）按照（1）的思路相關(guān)點(diǎn)的豎坐標(biāo)用x表示，從而向量的豎坐標(biāo)也用x表示，因?yàn)閮芍本�垂直，所以相應(yīng)向量的數(shù)量積為零，從而求得x的值．

解答：解：建立如圖所示坐標(biāo)系
（1）根據(jù)題意有：A（0，0，0），E（

6

2

，

2

2

，2），B（

6

2

，

2

2

，0），F(xiàn)（0，

2

，2）
∴

AE

 =(

6

2

，

2

2

，2)， 

BF

=(

6

2

，

2

2

，-2)
∴cos＜

AE

，

BF

＞=0
∴直線AE與BF所成的角為90^°．
（2）設(shè)側(cè)棱長為：x（x＞0）
則有：A（0，0，0），E（

6

2

，

2

2

，x），B（

6

2

，

2

2

，0），F(xiàn)（0，

2

，x）
∴

AE

=(

6

2

，

2

2

，x)，

BF

=(

6

2

，

2

2

，-x)
∵直線AE⊥BF
∴

AE

•

BF

=0
∴x²=4
∴x=2
故側(cè)棱的長為2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾體的結(jié)構(gòu)特征及向量法研究空間角和線線垂直的問題，同時(shí)還考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬中檔題．