Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)是橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，延長(zhǎng)直線， 分別與橢圓交于點(diǎn)， ，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設(shè)， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去通過(guò)運(yùn)算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進(jìn)而可得.

試題解析：（1）設(shè)由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設(shè)， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設(shè)直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ，且，證明： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析： 在處的切線方程為，求導(dǎo)算出切線方程即可求出結(jié)果構(gòu)造，求導(dǎo)，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)的根為，證得，討論證得的根為， ，從而得證結(jié)論

解析：（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（Ⅰ）可知， ，

設(shè)在(-1，0)處的切線方程為，

易得， ，令

即， ，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

設(shè)， ，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故， ，

設(shè)的根為，則，

又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，

設(shè)在(0,0)處的切線方程為，易得，

令， ，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

， ，

設(shè)的根為，則，

又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，

又，

.