【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為.

1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若動(dòng)點(diǎn)外一點(diǎn),且的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程;

3)設(shè)的另一個(gè)焦點(diǎn)為,過(guò)上一點(diǎn)的切線與(2)所求軌跡交于點(diǎn),,求證:.

【答案】(1);(2;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

1)利用題中條件求出的值,然后根據(jù)離心率求出的值,最后根據(jù)三者的關(guān)系求出的值,從而確定橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè),切點(diǎn)分別為,,當(dāng)時(shí),設(shè)切線方程為,與橢圓聯(lián)立消去,得,根據(jù)根的判別式,化簡(jiǎn)得,又因?yàn)?/span>在橢圓外, .又因?yàn)?/span>,所以,即,化簡(jiǎn)為,

整理即可得的軌跡方程.

3)設(shè),先求.方法一:由相交弦定理,得.

方法二:切線的參數(shù)方程,將代入圓,因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi),整理可得.再利用公式求,所以證得.

1)解:設(shè),

由題設(shè),得,,所以,,

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2)解:如圖,設(shè),切點(diǎn)分別為,,

當(dāng)時(shí),設(shè)切線方程為,

聯(lián)立方程,得,

消去,得,①

關(guān)于的方程①的判別式,

化簡(jiǎn),得,②

關(guān)于的方程②的判別式,

因?yàn)?/span>在橢圓外,

所以,即,所以.

關(guān)于的方程②有兩個(gè)實(shí)根,分別是切線,的斜率,

因?yàn)?/span>,所以,即,化簡(jiǎn)為,

當(dāng)時(shí),可得,滿足,

所以的軌跡方程為.

3)證明:如圖,設(shè),先求.

方法一:由相交弦定理,得

.

方法二:切線的參數(shù)方程為為參數(shù)),

,

代入圓,整理得,

因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi),

所以上述方程必有兩個(gè)不等實(shí)根,,,且,

所以,

當(dāng)時(shí),,仍有.

再求.

,

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即,

所以,

所以.

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空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

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A.B.

C.D.

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(1);

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