Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當時，證明；

（2）當時，對于兩個不相等的實數(shù)、有，求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）a=1時，對f(x)求導，判斷f(x)單調(diào)性求出它的最小值即可證明。

（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再構(gòu)造 ，求導判斷它的單調(diào)性，根據(jù) ，且 ，可得不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不妨設 ，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.

（1）∵，∴，∴，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴時，取得極小值，即最小值.

即.

（2）證明：當時，，

則，∴時，，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增，

令，

則，∴.

當時，，，，∴，單調(diào)遞減，

∴，即，

∴當時，.

又在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).

又∵，且，∴，不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，

不妨設，由上可知：.

∵，∴.

∵，，又在內(nèi)是增函數(shù)，∴，即.