(2006•寶山區(qū)二模)定義區(qū)間長度m為這樣的一個量:m的大小為區(qū)間右端點(diǎn)的值減去區(qū)間左端點(diǎn)的值.若關(guān)于x的不等式x2-ax-6a<0有解,且解集的區(qū)間長度不超過5個單位長,則a的取值范圍是( 。
分析:關(guān)于x的不等式x2-ax-6a<0有解,因此必須△=a2+24a>0,解得a的取值范圍(*).由x2-ax-6a=0解得.
不妨設(shè)x1<x2,不等式解集為(x1,x2),利用解集的區(qū)間長度不超過5個單位長,可得x2-x1≤5,解得a的取值范圍與(*)求出其交集即可.
解答:解:∵關(guān)于x的不等式x2-ax-6a<0有解,∴△=a2+24a>0,解得a>0或a<-24.
由x2-ax-6a=0解得x1=
a-
a2+24a
2
,x2=
a+
a2+24a
2

∵x1<x2,不等式解集為(x1,x2),
∵解集的區(qū)間長度不超過5個單位長,∴
a2+24a
≤5,解得-25≤a≤1,
∵a>0或a<-24,
∴-25≤a<-24或0<a≤1.
故選D.
點(diǎn)評:熟練掌握一元二次不等式的解集與△及相應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系、新定義、交集的運(yùn)算等是解題的關(guān)鍵.
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