Question

（2007•黃岡模擬）對(duì)n∈N^*，不等式

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，把D_n內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成一列點(diǎn)：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₄），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n
（2）若an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn（λ為非零常數(shù)），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．

Answer 1

分析：（1））由-nx+2n＞0得x=1，從而得知D_n內(nèi)的整點(diǎn)都落在直線x=1上且y≤n，因此D_n內(nèi)的整點(diǎn)按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成的點(diǎn)列為：（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，n），從而得x_n=1，y_n=n；
（2）由（1）知an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn=3n+λ•(-1)n-1•2n，先求出a_n+1-a_n的表達(dá)式，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)來討論，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得λ＜1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得λ＞-

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 ，又λ≠0且λ∈Z．得知λ=1符合題意．

解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，又x＞0且x∈N^*，∴x=1（1分）
故D_n內(nèi)的整點(diǎn)都落在直線x=1上且y≤n，故D_n內(nèi)的整點(diǎn)按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成的點(diǎn)列為：（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，n），
∴x_n=1，y_n=n（5分）
（2）an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn=3n+λ•(-1)n-1•2n，
∴a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹+λ•（-1）ⁿ•2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+λ•（-1）^n-1•2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴(-1)n-1•λ＜(

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)n-1…（*）                                      （8分）
當(dāng)n=2k-1（k=1，2，3，…）時(shí)，（*）式即為λ＜(

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)2k-2對(duì)k=1，2，3，…都成立，∴λ＜1（10分）
當(dāng)n=2k（k=1，2，3，…）時(shí)，（*）式即為λ＞-(

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)2k-1對(duì)k=1，2，3，…都成立，∴λ＞-

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（12分）
∴-

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＜λ＜1，又λ≠0且λ∈Z，
∴存在λ=-1，使得對(duì)任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．                    （14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查簡(jiǎn)單的平面區(qū)域知識(shí)，及函數(shù)的分類討論思想．