某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.

(1)求an的表達式;

(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30).

答案:
解析:

  思路解析:(1)依題意,得a1=a(1+)-b=a-b,

  a2a1-b=(a-b)-b=()2a-(+1)b,

  a3a2-b=()3a-[()2+1]b,

  由此猜測:

  an=()na-[()n-1+()n-2+…++1]b

 。()na-4[()n-1]b(n∈N+).

  下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

  ①當n=1時,a1a-b,猜測成立.

 、诩僭O(shè)n=k時,猜測成立.

  即ak=()ka-4[()k-1]b成立.

  那么當n=k+1時,

  ak+1ak-b={()ka-4[()k-1]b}-b=()k+1a-4[()k+1-1]b,

  即當n=k+1時,猜測成立.

  由①②知,對任意的自然數(shù)n猜測成立.

  (2)當b=a時,若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失時,則森林木材存量必須小于a,

  ∴()na-4[()n-1]×a<a,

  整理,得()n>5,

  兩邊取對數(shù)得:nlglg5,

  ∴n>=7.

  ∴經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失.


練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某地區(qū)原森林木材存量為a,且每年增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量
(1)計算a1,a2,a3的值;
(2)由(1)的結(jié)果,推測an的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論;
(3)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于
7
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a,如果b=
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a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年?(取lg2≈0.30)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:專題七 應(yīng)用性問題 題型:044

某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年的增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要,每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)的森林木材存量,

(1)求an的表達式;

(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于,如果b=,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.

(1)求an的表達式;

(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年的增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an表示n年后該地區(qū)森林木材的存量.

(1)求an的表達式;

(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年(取lg2=0.30)?

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