Question

已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍。

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.（2）(e－2，1).

【解析】

試題分析：（1）先求出的導(dǎo)函數(shù)即為的解析式，再求出的導(dǎo)函數(shù)，研究的值在[0,1]上的正負(fù)變化情況，得出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出在[0,1]上的最小值，因?qū)��?shù)函數(shù)參數(shù)，故需要分類討論；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，利用=0，判定出在[0,1]間的單調(diào)性，從而得出在[0,1]間的正負(fù)變化情況，得出在[0,1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合（1）的結(jié)論，得出在零點(diǎn)所在區(qū)間的端點(diǎn)的正負(fù)，列出關(guān)于的不等式，求出的范圍.

試題解析：（1）由，有

所以

因此，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，所以g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b

當(dāng)時(shí)，，所以g(x)在[0，1]上單調(diào)遞減

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b

當(dāng)時(shí)，令g'(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[ln(2a)，1]上單調(diào)遞增

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b

綜上所述，當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；

當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;

當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.

（2）設(shè)x0為f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由f(0)＝f(x0)＝0可知

f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，

則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù).

故g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點(diǎn)，

同理，g(x)在區(qū)間(x0，1)內(nèi)存在零點(diǎn)

所以，g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，

所以，

此時(shí)，g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調(diào)遞減，在[ln(2a)，1]上單調(diào)遞增

因此，x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有

g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0

由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2有

g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0

解得e－2＜a＜1

當(dāng)e－2＜a＜1時(shí)，g(x)在區(qū)間[0，1]內(nèi)有最小值g(ln(2a))，

若g(ln(2a))≥0，則g(x)≥0(x∈[0，1])

從而f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，這與f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0

又g(0)＝a－e－2＞0，g(1)＝1－a＞0

故此時(shí)g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)x1和x2，

由此可知，f(x)在[0，x1]上單調(diào)遞增，在[x1，x2]上單調(diào)遞減，在[x2，1]上單調(diào)遞增.

所以f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(0)＝0

故f(x)在(x1，x2)內(nèi)有零點(diǎn)

綜上所述，a的取值范圍是(e－2，1).

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，創(chuàng)新意識(shí)，