已知橢圓C1：數(shù)學(xué)公式和雙曲線C2：數(shù)學(xué)公式有相同的焦點(diǎn)F1、F2，2c是它們的共同焦距，且它們的離心率互為倒數(shù)，P是它們在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)cos∠F1PF2=60°時(shí)，下列結(jié)論中正確的是


  1. A.
    c4+3a4=4a2c2
  2. B.
    3c4+a4=4a2c2
  3. C.
    c4+3a4=6a2c2
  4. D.
    3c4+a4=6a2c2
A
分析：利用橢圓、雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，可得4c2=A2+3a2，利用離心率互為倒數(shù)，可得A=，由此可得結(jié)論．
解答：由題意，|PF1|+|PF2|=2A，|PF1|-|PF2|=2a，則|PF1|=A+a，|PF2|=A-a
∵cos∠F1PF2=60°，∴4c2=（A+a）2+（A-a）2-（A+a）（A-a）=A2+3a2，
∵離心率互為倒數(shù)
∴=1
∴A=
∴4c2=+3a2，
∴c4+3a4=4a2c2，
故選A．
點(diǎn)評：本題考查橢圓、雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，考查余弦定理，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動(dòng)到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湛江二模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，P是雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1右支x軸上方的一點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)C，連接PB并延長交橢圓于點(diǎn)D．
（1）若a=2b，求橢圓C1及雙曲線C2的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用a，b表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C1：（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，P是雙曲線C2：=1右支x軸上方的一點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)C，連接PB并延長交橢圓于點(diǎn)D．
（1）若a=2b，求橢圓C1及雙曲線C2的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用a，b表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年五校聯(lián)合教學(xué)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1以拋物線的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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