Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，P是雙曲線C₂：=1右支x軸上方的一點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)C，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．
（1）若a=2b，求橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用a，b表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a=2b，結(jié)合橢圓中，，雙曲線中，，即可求得橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）設(shè)P、C的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），根據(jù)△ACD和△PCD的面積相等，可得，，分別代入橢圓、雙曲線方程，聯(lián)立方程，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵a=2b，∴在橢圓C₁：（a＞b＞0）中，
∴橢圓C₁的離心率為；
在雙曲線C₂中，，
∴雙曲線C₂的離心率為；
（2）設(shè)P、C的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁）
由題意知A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面積相等，
∴|AC|=|PC|
∴，
代入橢圓C₁：得①
∵P（x，y）是雙曲線C₂：=1右支x軸上方的一點(diǎn)，
∴②
②代入①化簡(jiǎn)可得
∴x=2a或-a（舍去）
∴
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，b）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是利用△ACD和△PCD的面積相等，尋求坐標(biāo)之間的關(guān)系．