Question

已知雙曲線(xiàn)，是右頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且滿(mǎn)足，，成等比數(shù)列，過(guò)作雙曲線(xiàn)在第一、三象限的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為．

（1）求證：；

（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別相交于點(diǎn)，求雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見(jiàn)解析。（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明：直線(xiàn)為，     ①

在第一、三象限的漸近線(xiàn)，    ②

解①、②得垂足．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031012141852918777/SYS201303101215333572840613_DA.files/image006.png">，，成等比數(shù)列，

所以可得點(diǎn)．

所以，，．

所以，．

因此；

（2）解：由得，

因?yàn)橹本�(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別相交于點(diǎn)，

所以，

所以，即，，，，，

因此．

考點(diǎn)：本題主要考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，平面向量的數(shù)量積。

點(diǎn)評(píng)：綜合性較強(qiáng)，在高考題中具有方向性。數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用韋達(dá)定理。