Question

如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)N，連接EM，AN，MN，證明四邊形EMNA為平行四邊形，得EM∥AN，由線面平行的判定定理，可得EM∥平面ABC．
（2）連接AD，把幾何體分割成兩個三棱錐，即可求解．

解答：（1）證明：如圖，取BC的中點(diǎn)N，連接EM，MN，AN
則MN∥CD，且MN=

1

2

CD=2
∴AE∥MN，且AE=MN
∴四邊形EMNA為平行四邊形
∴EM∥AN
∵EM?平面ABC，AN?平面ABC
∴EM∥平面ABC
（2）如圖，連接AD，則VV_ABCED=V_D-ABC+V_D-ABE
由已知可知CD⊥面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，CD∥平面ABE，點(diǎn)D到面ABE的距離等于點(diǎn)C到面ABE的距離，即等于CA的長2．
∴VD-ABC=

1

3

×(

1

2

AB×AC)×DC=

1

3

×(

1

2

×2×2)×4=

8

3

VD-ABE=

1

3

×(

1

2

×AE×AB)×CA=

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

4

3

∴VABCED=

8

3

+

4

3

=4
故幾何體的體積為4．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定、三視圖的有關(guān)知識、幾何體的分割、三棱錐體積的計(jì)算．在解題中把不熟悉的幾何體分割成常見幾何體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中的化歸的思想．