在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M（1，-3），N（5，1）.若點(diǎn)C滿(mǎn)足=t +（1-t）(t∈R).點(diǎn)C的軌道與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥；

（Ⅱ）在x軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P（m,0),使得過(guò)點(diǎn)P的任意一條拋物線的弦的長(zhǎng)度是原點(diǎn)到該弦中點(diǎn)距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（Ⅰ）點(diǎn)C的軌道方程x-y-4=0,

    由y2-4x-16=0.

∴·=x1x2+y1y2=0.

∴⊥.

（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)P（m,0）.

    設(shè)過(guò)P的直線l：y=k(x-m),代入y2=4x得k2x2-2(k2m+2)x+m2k2=0.

∴x1x2=m2,

y1y2==-4m.

    設(shè)l交拋物線于D、E，線段DE的中點(diǎn)為F

∵|OF|=|DE|,

∴OD⊥OE,

∴x1x2+y1y2=0,

∴m2-4m=0,

∴m=4,

∴P(4,0).

    當(dāng)斜率不存在時(shí)|OP|=4，|DE|=8，|OP|=1[]2|DE|，故存在點(diǎn)P（4，0）.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱(chēng)點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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