Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F，以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)A、B，若（

AO

+

AF

）•

OF

=0，則雙曲線的離心率e為（　�。�

• A．2
• B．3
• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：先畫(huà)出圖形，如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為C，則

AO

+

AF

=

1

2

AC

，由題意得AC⊥OF，根據(jù)三角形的性質(zhì)可得AC=AF，又AF=OF，從而得出△AOF是正三角形，即雙曲線的漸近線的傾斜角為60°，得出a，b的關(guān)系式，即可求出雙曲線的離心率e．

解答：解：如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為C，則

AO

+

AF

=

1

2

AC

，
由題意得，

1

2

AC

•

OF

=0，∴AC⊥OF，
∴AC=AF，
又AF=OF，
∴△AOF是正三角形，∴∠AOF=60°，
即雙曲線的漸近線的傾斜角為60°，∴

b

a

=tan60°，b=

3

a，
則雙曲線的離心率e為

c

a

=

a2+b2

a

=2．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線右焦點(diǎn)F為圓心的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，在已知若（

AO

+

AF

）•

OF

=0的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．