Question

已知｛a_n｝是等比數列，a₁=2，a₃=18；｛b_n｝是等差數列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．

　　(1)求數列｛b_n｝的通項公式；

　　(2)求數列｛b_n｝的前n項和S_n的公式；

　　(3)設P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，…，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設｛an｝的公比為q，由a3=a1q2得 　　，q=±3 　　當q=-3時，a1+a2+a3=2-6+18=14＜20，這與a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去； 　　當q=3時，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合題意． 　　設數列｛bn｝的公差為d，由b1+b2+b3+b4=26得 　　 　　又b1=2，解得d=3 　　所以bn=3n-1 　　(2)Sn=． 　　(3)b1，b4，b7，…，b3n-2組成以3d為公差的等差數列，所以 　　b10，b12，b14，…，b2n+8，組成以2d為公差的等差數列，b10=29 　　所以Qn=nb10+ 　　Pn-Qn=()-(3n2+26n)=n(n-19) 　　所以，對于正整數n，當n≥20時，Pn＞Qn； 　　當n=19時，Pn=Qn； 　　當n≤18時，Pn＜Qn