精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知橢圓為其左右焦點，為其上下頂點，四邊形的面積為.點為橢圓上任意一點，以為圓心的圓（記為圓）總經過坐標原點.

（1）求橢圓的長軸的最小值，并確定此時橢圓的方程；

（2）對于（1）中確定的橢圓，若給定圓，則圓和圓的公共弦的長是否為定值？如果是，求的值；如果不是，請說明理由.

【答案】（1）長軸的最小值為，此時橢圓的方程為；（2）2.

【解析】

（1）利用四邊形的面積求得，利用基本不等式求得的最小值，同時求得橢圓的方程.（2）設出點坐標，代入橢圓方程，得到點兩個坐標的關系式.求得圓的方程和圓的方程，兩者作差求得公共弦所在直線方程，求得圓心到公共弦的距離，由此求得弦長為定值.

解：（1）依題意四邊形的面積為

因為長軸當且僅當時取“”

此時

故長軸的最小值為，此時橢圓的方程為

（2）設點為橢圓上任意一點，則.

圓的方程為： ，

圓的方程為： ，

兩式作差得公共弦方程為：，

所以弦心距

則弦長，所以圓和動圓的公共弦長為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的圖象在點處的切線與直線平行.

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）若對于，，求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設為的內心，三邊長，點在邊上，且，若直線交直線于點，則線段的長為______.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）若函數在區(qū)間上是單調函數，試求實數的取值范圍；

（2）已知函數，且，若函數在區(qū)間上恰有3個零點，求實數的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（其中為常數且）

（1）若函數為減函數，求實數的取值范圍；

（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】鄭汴一體化是依托鄭州省會城市資源優(yōu)勢發(fā)展開封的省級戰(zhàn)略，實施至今，取得了一系列的成就：兩城電信同價，金融同城，鄭開大道全線貫通，城際列車實常態(tài)化運營．隨著鄭汴一體化的深入推進，很多人認為鄭州開封未來有望合并．為了解市民對鄭汴合并的態(tài)度，現(xiàn)隨機抽查55人，結果按年齡分類統(tǒng)計形成如下表格：

支持

反對

合計

不足35歲

20

35歲以上

30

合計

25

55

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為市民對鄭汴合并的態(tài)度與年齡有關？

（2）在上述樣木中用分層抽樣的方法，從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機抽取6人作進一步調查，從這6人中任選2人，求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.814

5.024

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】浦東一模之后的“大將” 洗心革面，再也沒進過網吧，開始發(fā)奮學習. 2019年春節(jié)檔非常熱門的電影《流浪地球》引發(fā)了他的思考：假定地球（設為質點，地球半徑忽略不計）借助原子發(fā)動機開始流浪的軌道是以木星（看作球體，其半徑約為萬米）的中心為右焦點的橢圓. 已知地球的近木星點（軌道上離木星表面最近的點）到木星表面的距離為萬米，遠木星點（軌道上離木星表面最遠的點）到木星表面的距離為萬米.

（1）求如圖給定的坐標系下橢圓的標準方程；

（2）若地球在流浪的過程中，由第一次逆時針流浪到與軌道中心的距離為萬米時（其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長），由于木星引力，部分原子發(fā)動機突然失去了動力，此時地球向著木星方向開始變軌（如圖所示），假定地球變軌后的軌道為一條直線，稱該直線的斜率為“變軌系數”. 求“變軌系數”的取值范圍，使地球與木星不會發(fā)生碰撞. （精確到小數點后一位）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，橢圓離心率為，、是橢圓C的短軸端點，且到焦點的距離為，點M在橢圓C上運動，且點M不與、重合，點N滿足．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求四邊形面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓上，，直線的斜率為（為半焦距）·

（1）求橢圓的方程；

（2）設圓的切線交橢圓于兩點（為坐標原點），求證：；

（3）在（2）的條件下，求的最大值

查看答案和解析>>

同步練習冊答案