Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l，使以直線l被橢圓E所截得的弦為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直線或

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率公式及橢圓過(guò)點(diǎn)A,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程；

（2）討論直線l的斜率不存在,求得C,D的坐標(biāo),可得符合題意；設(shè)直線的斜率存在,設(shè)為,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,由以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),可得,由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,解方程可得所求斜率,即可判斷存在性.

（1）由題意過(guò)點(diǎn),則,

∵橢圓的離心率,則,,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l即為y軸,

此時(shí)C,D為橢圓C的短軸端點(diǎn),以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,由,

得,

所以.

設(shè),,則

而,

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),

所以,則,即.

所以.②

將①式代入②式整理解得.滿足.

綜上可知,存在直線或,使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).