Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，），且離心率等于，過點M（0，2）的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點，點N在線段PQ上．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知b²=2，a²=8，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），若直線l與y軸重合，則，得y=1，得．若直線l與y軸不重合，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得①，．由此可知λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1分）
因為它的一個頂點為A（0，），所以b²=2，
由離心率等于，得=，
解得a²=8，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），若直線l與y軸重合，
則，得y=1，得（1分）
若直線l與y軸不重合，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得①，②，（2分）
由得，整理得2x₁x₂=x（x₁+x₂），
將①②代入得，又點N（x，y）在直線l上，
所以，（2分）
于是有，因此，
由得，
所以，綜上所述，有（2分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．