已知函數(shù)f(x)對任意的x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且x<0時(shí),f(x)>0.
(1)求證:函f(x)是奇函數(shù);
(2)求證:函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù);
(3)若定義在(-2,2)上的函數(shù)f(x)滿足f(-m)+f(1-m)<0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
分析:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可令x=y=0 有f (0 )=0,令y=-x 代入即證;
(2)設(shè)x
2>x
1則x
1-x
2<0,由已知當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0可得f(x
1-x
2)>0,則f(x
1)=f[(x
1-x
2)+x
2]=f(x
1-x
2)+f(x
2)>f(x
2)可證;
(3)移項(xiàng),利用奇偶性進(jìn)行化簡,然后利用單調(diào)性建立不等式,注意定義域,從而可求出m的取值范圍.
解答:(1)證明:∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
令y=-x 有:0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù);…(5分)
(2)證明:設(shè)x
2>x
1則x
1-x
2<0
∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0
∴f(x
1-x
2)>0
∴f(x
1)=f[(x
1-x
2)+x
2]=f(x
1-x
2)+f(x
2)>f(x
2)
∴函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)
(3)解:∵f(-m)+f(1-m)<0,∴f(-m)<f(m-1),
且f(-m)+f(1-m)=f(1-2m)
∴
,解得:-
<m<
.…(16分)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)函數(shù)值,及利用賦值判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最值,利用構(gòu)造條件判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性的技巧要求體會(huì)掌握,是函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.