已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定值，且cos∠F1PF2的最小值為－．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)M(0，－1)，若斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與P點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)A、B，試求k的取值范圍，使|MA|＝|MB|．

答案：
解析：

＋y2＝1；k∈(－1，0)∪(0，1)

(1)∵x2－y2＝1，∴c2＝1＋1＝2，c＝

設(shè)|PF1|＋|PF2|＝2a(常數(shù)a＞0)，由2a＞2c＝2，∴a＞

由余弦定理有cos∠F1PF2＝

　　　　　　　　　　�。�

　　　　　　　　　　�。剑�1

∵|PF1||PF2|≤()2＝a2

∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)，|PF1||PF2|取得最大值a2．

此時(shí)cos∠F1PF2取得最小值－1

由題意－1＝－，解得a2＝3

∴P點(diǎn)的軌跡方程為＋y2＝1

①

(2)設(shè)l：y＝kx＋m(k≠0)

②

與①聯(lián)立得

②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0

(*)

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)Q(x0，y0)的坐標(biāo)滿(mǎn)足

x0＝

即Q(－)

∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂線(xiàn)上

∴klkAB＝k·＝－1

解得m＝

③

又由(*)由兩個(gè)實(shí)數(shù)根，知△＞0，即

(6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0

④

將③代入④得

12[1＋3k2－()2]＞0

解得－1＜k＜1，

由k≠0，∴k的取值范圍是k∈(－1，0)∪(0，1)


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡方程為：
x2
4
-
y2
5
=1（x＞2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
①若直線(xiàn)x-my-3=0截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得弦長(zhǎng)為5，求實(shí)數(shù)m的值；
②設(shè)過(guò)P的軌跡上的點(diǎn)P的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)P1、P2，且點(diǎn)P分有向線(xiàn)段
P1P2
所成的比為λ（λ＞0），當(dāng)λ∈[
3
4
，
3
2
]時(shí)，求|
OP1
|•|
OP2
|的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　人教課標(biāo)高二版(A選修1－1)　2009－2010學(xué)年　第18期　總第174期 人教課標(biāo)版(A選修1－1) 題型：044

已知雙曲線(xiàn)C以x±y＝0為漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)A(3，2)．

(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)所連線(xiàn)段長(zhǎng)的和為6，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　人教課標(biāo)版高二(A選修2－1)　2009－2010學(xué)年　第18期　總第174期 人教課標(biāo)版(A選修2－1) 題型：044

已知雙曲線(xiàn)C以x±y＝0為漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)A(3，2)．

(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)所連線(xiàn)段長(zhǎng)的和為6，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線(xiàn)，記Q是直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)x2＝2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)

⑴.已知a＝1，b＝2，p＝2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

⑵.已知點(diǎn)P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線(xiàn)4x2－4y2＝1上。

⑶.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿(mǎn)足ab≠0，p＝，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線(xiàn)上，并說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（上海卷理20）設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線(xiàn)，記Q是直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)x2＝2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)

⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

⑵已知點(diǎn)P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線(xiàn)4x2－4y2＝1上.

⑶已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿(mǎn)足ab≠0，p＝，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線(xiàn)上，并說(shuō)明理由.

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