Question

已知不等式|x+1|≤4的解集為A，記A中的最大元素為T(mén)，若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先求出解集A，求出最大元素3，再運(yùn)用柯西不等式：（ad+be+cf）²≤（a²+b²+c²）（d²+e²+f²），注意等號(hào)成立的條件：

a

d

=

b

e

=

c

f

．

解答： 解：∵不等式|x+1|≤4的解集A是[-5，3]，
∴A中的最大元素為3，即T=3，
∴a²+b²+c²=T=3，
由柯西不等式得（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18，
∵a，b，c均為正數(shù)，
∴a+2b+3c≤3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

1

=

b

2

=

c

1

即a=

2

2

，b=

2

，c=

2

2

時(shí)，a+2b+c的最大值為3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查柯西不等式及運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，同時(shí)考查絕對(duì)值不等式的解法，是一道基礎(chǔ)題．