Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若曲線在軸上的截距為，且在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）記的導(dǎo)函數(shù)為， 在區(qū)間上的最小值為，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 的值分別為1， ；(2) .

【解析】試題分析：(1)先利用曲線在軸上的截距為求得，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；(2)連續(xù)求導(dǎo)，得到，再通過分類討論思想討論的取值，研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性和最小值，得到分段函數(shù)，則通過求導(dǎo)確定的最小值.

試題解析：（1）曲線在軸上的截距為，則過點(diǎn)，代入，

則，則，求導(dǎo)，

由，即，則，

∴實(shí)數(shù)的值分別為1， ；

（2）， ， ，

①當(dāng)時，∵，∴恒成立，

即， 在上單調(diào)遞增，

∴.

②當(dāng)時，∵，∴恒成立，

即， 在單調(diào)遞減，

∴.

③當(dāng)時， ，得， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

∴，

∴當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，求導(dǎo)， ，

由時， ，

∴單調(diào)通減， ，

當(dāng)時， ，單調(diào)遞減， ，

∴的最大值.