Question

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設點是橢圓在第一象限上的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個定值；

（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設交于點，

證明:當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為；(Ⅱ)3；（III）點在直線上.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點求出橢圓的焦點，又橢圓過點，得：，

且，，解方程組可得橢圓的方程：

(Ⅱ)設出切點的坐標和切線的方程，利用直線和橢圓相切的條件，證明為定值.

（III）利用(Ⅱ)的結(jié)果,由,寫出直線的方程,可解出交于點

的坐標,進而證明當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

試題解析：(Ⅰ)由題意得 ，

又， 2分

消去可得，，解得或（舍去），則，

求橢圓的方程為． 4分

(Ⅱ)設直線方程為，并設點，

由.

， 6分

，當時，直線與橢圓相交，所以，，

由得，， 8分

，整理得：.而,代入中得

為定值. 10分

（用導數(shù)求解也可，若直接用切線公式扣4分，只得2分）

（III）的斜率為：，又由,

從而得直線的方程為：,聯(lián)立方程,

消去得方程，因為， 所以 ，

即點在直線上. 14分

考點：1、橢圓的標準方程；2、拋物線的標準方程；3、直線與橢圓的位置關(guān)系；