(08年紹興一中三模理 ) (15分)  定義:  ()

    ⑴設(shè)函數(shù),求函數(shù)的最小值;

    ⑵解關(guān)于的不等式:

    ⑶設(shè),正項(xiàng)數(shù)列滿足:;求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求所有可能乘積)的和。

解析:本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識,考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,考查分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

解法一:(Ⅰ)f(n)= , ...............2分

因?yàn)?n2-(n+1)2=(n-1)2-2,

當(dāng)n≥3時(shí),(n-1)2-2>0,所以當(dāng)n≥3時(shí)f(n+1)>f(n);

當(dāng),n<3時(shí),(n-1)2-2<O,所以當(dāng)n<3時(shí)f(n+1)<f(n).

所以當(dāng)n=3時(shí)f(n)取到最小值為f(3)=.................4分

 (Ⅱ)原不等式等價(jià)于不等式組5分

(i)當(dāng)a>1時(shí),2<a+1<2a,原不等式的解集是{x|a+1<x≤2a}.…………6分

(ii)當(dāng)a=l時(shí),2a=a+1=2,原不等式的解集是空集.…………………7分

(iii)當(dāng)a<1時(shí),2a<a+1<2,原不等式的解集為{x|a+1<x≤2}.…………8分

綜上,a>1時(shí),原不等式的解集是(a+1,2a];a=1時(shí),原不等式的解集是;

a<l時(shí),原不等式的解集是(a+1,2].………………………………………9分

(Ⅲ)因?yàn)間(x)=2x,所以g(an+1)= ,又g(an+1)= = ,

            所以an+1=3an.又a1=3, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=3,公比為3的等比數(shù)列,

所以an=3?3 n-1=3 n. ………………………………………………………10分

            記數(shù)列{3 n}的所有可能的乘積(1≤i≤j≤n)的和為S,則

S=a1?a1+(a1+a2) ?a2+…+(a1+a2+…+an) ?an………………………………11分

= 3?31+(3+32) ?32+…+(3+32+…+3n) ?3n…………………………………12分

=

= +

=

= ……………………………………………15分

解法二:(Ⅰ)由f(n)= ,計(jì)算得:

據(jù)此猜想n=3時(shí),f(n)取到最小值.………………………………………2分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明n≥5時(shí),n2<2 n成立.

(i)當(dāng)n=5時(shí),52<2 5,不等式成立.

(ii)假設(shè)n=k(k≥5)時(shí)不等式成立,即k2>2 k

那么2k+1=2 k ?2>k2 ?2 ,

因?yàn)閗≥5,所以2k2-(k+1)2=k2-2k-1=(k-1)2-2>0.

所以2k+1>(k+1)2.即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.

根據(jù)(i)和(ii)所述,對于所有n≥5,n∈N *,n2<2 n都成立.

結(jié)合上表可知猜想正確,即當(dāng)n=3時(shí)f(n)取到最小值為f(3)=.………4分

(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)同解法一,得an=3n.………………………………………………………10分

           由ai?aj=3i?3j=3i+j  (1≤i≤j≤n),列表如下:

記數(shù)列{3n}的所有可能的乘積(1≤i≤j≤n)的和為S,將這個(gè)“上三角形”表繞“對角線”對稱地填在“下三角形”中,得到正方形數(shù)表:

記第一行的和為S1,那么2S一(32+34+36+…+32n)=S1(1+3+32+…+3n-1).

所以2S =(3 n-1)(1+3+32+…+3 n-1)+(9 n -1),

所以S =

解法三:(Ⅰ)因?yàn)閒(n)= ,設(shè)

,

所以當(dāng)時(shí),<0,所以,內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),>0,所以,內(nèi)單調(diào)遞增.……2分

所以f(n)= 的最小值只可能在n=2或n=3處取到,

注意到f(2)=1,f(3)=,所以當(dāng)n=3時(shí),f(n)取到最小值為 f(3)=.

        (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一.

解法四:(Ⅰ)同解法二,猜想n=3時(shí), f(n)取到最小值.………………………………2分

            證明如下:當(dāng)n≥5時(shí),

因?yàn)閚≥5時(shí),n-2≥3,

            所以=1.

結(jié)合上表可知猜想正確,即當(dāng)n=3時(shí),f(n)取到最小值為f(3)= .

(Ⅱ)(Ⅲ)同解法一.

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    ⑵求證;

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