Question

9．已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，$\frac{sinA}{sinC}=\frac{asinB}{a-bcosC}$．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若△ABC邊AC上的高h=b，求$\frac{sinB}{tanA}+\frac{sinB}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用正弦定理結合三角形的內角和定理．即可得到A．
（Ⅱ）根據(jù)△ABC邊AC上的高h=b，求出tanA和tanC，帶入化簡可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{sinA}{sinC}=\frac{asinB}{a-bcosC}$．
根據(jù)正弦定理，可得：$\frac{a}{c}=\frac{asinB}{a-bcosC}$，
即a-bcosC=csinB，
得：sinA-sinBcosC=sinCsinB．
B+C+A=π
∴sinA=sin（B+C）
∴sinBcosC+sinCcosB-sinBcosC=sinCsinB．
可得：sinCcosB=sinCsinB．
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴cosB=sinB
∵0＜B＜π．
∴B=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）由題意，過B點作AC的高h=DB=b．設AD=m，DC=n，n+m=b．
則tanA=$\frac{m}$，tanC=$\frac{n}$，
可得$\frac{sinB}{tanA}+\frac{sinB}{tanC}$=sinB（$\frac{m}+\frac{n}$）=sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查三角形的正弦定理和內角和定理的運用，考查運算能力，屬于基礎題．