Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（I）　求異面直線BD與B₁C所成的角；
（II）　求證平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，DB∥D₁B₁，
則∠D₁B₁C就是異面直線BD與B₁C所成的角．
連接D₁C，在△D₁B₁C中，D₁B₁=B₁C=CD₁，
則∠D₁B₁C=60°，
因此異面直線BD與B₁C所成的角為60°．（4分）
（Ⅱ）由正方體的性質(zhì)可知DD₁⊥面AC，
故DD₁⊥AC，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥面B₁D₁DB；
又AC?平面ACB₁，
∴平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．（8分）
分析：（I）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長(zhǎng)為1的正方體，結(jié)合正方體的幾何特征，我們易得∠D₁B₁C就是異面直線BD與B₁C所成的角，解三角形D₁B₁C，即可得到異面直線BD與B₁C所成的角；
（II）由正方體的性質(zhì)可知DD₁⊥面AC，即DD₁⊥AC，又由AC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC⊥面B₁D₁DB，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定及異面直線及其所成的角，熟練掌握正方體的幾何特征，從中分析出線與線、線與面的平行、垂直關(guān)系及夾角是解答本題的關(guān)鍵．