Question

△ABC的三個頂點(diǎn)為A（-1，2）、B（2，1）、C（3，4）．
（1）求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求BC邊中線所在直線截其外接圓的弦長．

Answer 1

分析：（1）設(shè)△ABC的外接圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由A、B、C三點(diǎn)在圓上建立關(guān)于a、b、r的方程組，解出a、b、r的值，即可得到△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出BC的中點(diǎn)D(

5

2

，

5

2

)，從而得到直線AD的方程為x-7y+15=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式算出外接圓心到直線AD的距離．最后根據(jù)垂徑定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，可得直線AD截外接圓所得的弦長．

解答：解：（1）設(shè)△ABC的外接圓方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵A（-1，2）、B（2，1）、C（3，4），三點(diǎn)在圓上，
∴

(-1-a)2+(2-b)2=r2 (2-a)2+(1-b)2=r2 (3-a)2+(4-b)2=2

，解之得a=1，b=3，r=

5

．
因此，△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-1）²+（y-3）²=5；
（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為M（1，3）
∵B（2，1）、C（3，4），∴BC的中點(diǎn)D(

5

2

，

5

2

)，
可得直線AD的斜率k =

5 2 -2

5 2 +1

=

1

7

，直線AD為y-2=

1

7

（x+1），化簡得x-7y+15=0，
∴M（1，3）到直線AD的距離d=

|1-3×7+15|

12+(-7)2

=

2

2

，
又∵△ABC外接圓的半徑r=

5

，
∴根據(jù)垂徑定理，可得直線AD截△ABC外接圓所得的弦長為：2

r2-d2

=2

( 5 )2-( 2 2 )2

=3

2

．

點(diǎn)評：本題給出三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)，求它的外接圓方程并求中線所在直線被外接圓截得的弦長．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．