Question

已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.
（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

（I）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，無最大值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

試題分析：（I）由已知條件，寫出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令和，分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，最后可求得函數(shù)的最值；（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，由，得，解這個(gè)方程，討論可得函數(shù)的單調(diào)性．
試題解析：（I）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031145264535.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，， ．                           2分
由，得，由，得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，
無最大值.                                          4分
（Ⅱ）．                  5分
當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增；               6分
當(dāng)時(shí)，由得，解得，．      7分
當(dāng)時(shí)，，由得，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間和上單調(diào)遞增                    9分
當(dāng)時(shí)，，由得，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．   13分