【題目】如圖,已知四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,BDD1B1為矩形,平面BDD1B1⊥平面ABCD,又AB=AD=BB1=1,CD=2.
(1)證明:CB1⊥AD1;
(2)求B1到平面ACD1的距離.
【答案】(1)見證明;(2)1
【解析】
(1)推導出BB1⊥平面ABCD,DD1⊥平面ABCD,連結(jié)AC,推導出B1C⊥B1D1,B1C⊥AB1,從而B1C⊥面B1D1A,由此能證明CB1⊥AD1.
(2)求出四面體B1-AD1C的體積V=,,設B1到平面ACD1的距離為h,由等體積法得h=,,由此能求出B1到平面ACD1的距離.
證明:(1)∵BDD1B1是矩形,且平面BDD1B1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥平面ABCD,DD1⊥平面ABCD,
在Rt△D1DC中,D1C=,AD1=,AB1=,
連結(jié)AC,在梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD=AB=1,DC=2,
∴AC=,BC=,∴B1C=,
在△B1D1C中,D1C=,,
B1C=,∴B1C⊥B1D1,
在△B1CA中,B1C=,AB1=,AC=,
∴B1C⊥AB1,
∵B1D1∩AB1=B1,∴B1C⊥面B1D1A,
∵AD1平面B1D1A,∴CB1⊥AD1.
解:(2)在△B1D1A中,AB1=B1D1=,AD1=,
則△BD1A的面積S==,
∴四面體B1-AD1C的體積V=,
在△ACD1中,AC=CD1=,而AD1=,
∴等腰△ACD1的邊AD1上的高d==,
∴△ACD1的面積S==,
設B1到平面ACD1的距離為h,由等體積法得h=,
∴,解得h=1,
∴B1到平面ACD1的距離為1.
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1)求橢圓長半軸長;
(2)求最大值;
(3)若直線分別與軸交于點,求證:的面積與的面積的乘積為定值.
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【題目】某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車,為制定適宜的經(jīng)營策略,該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進行單車使用情況調(diào)查.調(diào)查過程分隨機問卷、整理分析及開座談會三個階段.在隨機問卷階段,A,B兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回;在整理分析階段,兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中,針對15至45歲的人群,按比例隨機抽取了300份,進行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計,具體情況如下表:
組別 年齡 | A組統(tǒng)計結(jié)果 | B組統(tǒng)計結(jié)果 | ||
經(jīng)常使用單車 | 偶爾使用單車 | 經(jīng)常使用單車 | 偶爾使用單車 | |
27人 | 13人 | 40人 | 20人 | |
23人 | 17人 | 35人 | 25人 | |
20人 | 20人 | 35人 | 25人 |
(1)先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達到35歲”抽出一個容量為60人的樣本,再用分層抽樣的方法將“年齡達到35歲”的被抽個體數(shù)分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去.求這60人中“年齡達到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù);
(2)從統(tǒng)計數(shù)據(jù)可直觀得出“是否經(jīng)常使用共享單車與年齡(記作歲)有關”的結(jié)論.在用獨立性檢驗的方法說明該結(jié)論成立時,為使犯錯誤的概率盡可能小,年齡應取25還是35?請通過比較的觀測值的大小加以說明.
參考公式:,其中.
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【題目】我邊防局接到情報,在海礁所在直線的一側(cè)點處有走私團伙在進行交易活動,邊防局迅速派出快艇前去搜捕:如圖,已知快艇出發(fā)位置在的另一側(cè)碼頭處,公里,公里,;
(1)是否存在點,使快艇沿航線或的路程相等;如存在,則建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求出點的軌跡方程,且畫出軌跡的大致圖形;如不存在,請說明理由;
(2)問走私船在怎樣的區(qū)域上時,路線比路線的路程短,請說明理由.
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【題目】已知拋物線的準線l經(jīng)過橢圓的左焦點,且l與橢圓交于A,B兩點,過橢圓N右焦點的直線交拋物線M于C,D兩點,交橢圓于G,H兩點,且面積為3.
(1)求橢圓N的方程;
(2)當時,求.
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【題目】“斗拱”是中國古代建筑中特有的構(gòu)件,從最初的承重作用,到明清時期集承重與裝飾作用于一體。在立柱頂、額枋和檐檁間或構(gòu)架間,從枋上加的一層層探出成弓形的承重結(jié)構(gòu)叫拱,拱與拱之間墊的方形木塊叫斗。如圖所示,是“散斗”(又名“三才升”)的三視圖,則它的體積為( )
A. B. C. 53 D.
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