Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=

ax2+bx+c

x2+d

在x=1處取得極值2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)A（x₀，y₀）為f（x）圖象上任意一點(diǎn)，直線l與f（x）的圖象相切于點(diǎn)A，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義可得，a=c=0，再求f（x）的導(dǎo)數(shù)，由f（1）=2，f′（1）=0，解得，b=4，d=1，再令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得k=4•

1-x02

(1+x02)2

，令t=

1

1+x02

，0＜t≤1，則k=4（2t²-t），由二次函數(shù)的最值解法即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）奇函數(shù)f（x）有f（-x）=-f（x），
即有

ax2-bx+c

x2+d

=-

ax2+bx+c

x2+d

=

-ax2-bx-c

x2+d

，
則有-a=a，-c=c，即a=0，c=0，
則f（x）=

bx

x2+d

，f′（x）=

bd-bx2

(x2+d)2

，
由f（x）在x=1處取得極值2，則f（1）=2，f′（1）=0，
即為b=2（1+d），bd=b，解得，b=4，d=1．
則有f（x）=

4x

x2+1

，f′（x）=

4-4x2

(1+x2)2

，
令f′（x）＞0，得-1＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1或x＜-1．
則增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）由于f′（x）=

4-4x2

(1+x2)2

，則k=4•

1-x02

(1+x02)2

=4[-

1

1+x02

+2（

1

1+x02

）²]，
令t=

1

1+x02

，0＜t≤1，則k=4（2t²-t）=8（t-

1

4

）²-

1

2

，
當(dāng)t=

1

4

時(shí)，k取得最小值，且為-

1

2

；t=1時(shí)，k取得最大值，且為4．
則直線l的斜率k的取值范圍為[-

1

2

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．